在集合论和数学函数的背景下，单射（Injective）、满射（Surjective）、双射（Bijective）是描述函数（映射）性质的三个重要概念。我们以下用集合 AA 和 BB，以及一个函数 f:A→Bf: A \to B 来解释这三个概念：

---

1. 单射（Injective，又称一一映射）

每个不同的输入对应不同的输出。

定义：如果对于任意的 a1,a2∈Aa_1, a_2 \in A，只要 f(a1)=f(a2)f(a_1) = f(a_2)，就有 a1=a2a_1 = a_2，那么 ff 是单射。

直观理解：函数不会把两个不同的元素映射到同一个值上（没有“合并”）。

例子：

• f(x)=2xf(x) = 2x 从 R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R} 是单射。

• f(x)=x2f(x) = x^2 从 R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R} 不是单射，因为 f(2)=f(−2)=4f(2) = f(-2) = 4。

---

2. 满射（Surjective，又称“映到”）

每个目标集合 BB 中的元素都至少被映射一次。

定义：对于每个 b∈Bb \in B，都存在至少一个 a∈Aa \in A，使得 f(a)=bf(a) = b，那么 ff 是满射。

直观理解：函数的“输出”覆盖了整个目标集合 BB。

例子：

• f(x)=x3f(x) = x^3 从 R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R} 是满射。

• f(x)=exf(x) = e^x 从 R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R} 不是满射，因为没有 xx 使得 f(x)<0f(x) < 0。

---

3. 双射（Bijective）

同时是单射和满射。

定义：函数既是一一映射（单射），又是“映到”（满射）。

直观理解：每个输入有唯一输出，且每个输出都由某个输入得到 —— 完全一一对应。

性质：

• 可逆函数（存在反函数）当且仅当是双射。

• 可以“完美配对”两个集合。

例子：

• f(x)=x+1f(x) = x + 1 从 R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R} 是双射。

• f(x)=x2f(x) = x^2 从 R→R\mathbb{R} \to \mathbb{R} 不是双射；但从 [0,∞)→[0,∞)[0, \infty) \to [0, \infty) 是单射和满射，因此是双射。

---

小结表格：

性质	定义简述	条件
单射	不同输入映射到不同输出	f(a1)=f(a2)⇒a1=a2f(a_1) = f(a_2) \Rightarrow a_1 = a_2
满射	每个输出至少有一个对应的输入	∀b∈B,∃a∈A,f(a)=b\forall b \in B, \exists a \in A, f(a) = b
双射	同时是单射和满射	双向唯一对应，有反函数

如果你有具体的函数或集合例子，我可以帮你判断它是否是单射、满射或双射。